Cody 的小小世界

也許你看過網路上有人用畫的算乘法的影片,
http://bb5.babyhome.com.tw/UPLOAD10/232372/252710.115687997.wmv
看起來很神奇,但其實原理很簡單.

此篇並非反對背九九乘法,教育是因材施教,也有人2歲就背九九乘法以後也很強的.
只是我個人一直思考的是:數學的本質是甚麼?適合我孩子的又是甚麼樣的教育方式?
不論在那一個領域,我都希望我孩子學到的是知識的內涵而不僅僅是表面...
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雖然Cody邏輯還算蠻強的又很早抽象思考,要提早學習數學也不是難事,
不過我還是一直希望他能透過"發現"去發展自己的數學思維.

所以從他3歲會簡單的加減應用,4歲會簡單乘除應用之後,就看似沒有甚麼進展了,
甚至5歲以後,由於其他小朋友都開始學珠心算或背99乘法了.
他的計算速度更是開始顯得落後.
我很少跟人提Cody會了甚麼,因為我不喜歡人家考他,
免得壓垮他好不容易萌出來的數學嫩芽.
偶有朋友看過他解乘除的方式,雖然覺得很驚奇,
但由於4歲的Cody會的只是數字在20以內的乘除,並且局限於乘以2及除以2
朋友覺得不背九九乘法怎麼可能計算更大的數字呢?

本文出處: 人本教育基金會電子報  http://iwebs.url.com.tw/main/html/hef/588.shtml
文/口述／史英(人本教育基金會執行董事．台灣大學數學系副教授)　　整理／翁婉玲

什麼是建構式數學？
簡單的說，人類對於事物的了解不是從外界灌輸得來，而是他自己摸索體會所得。摸索體會，如果用比較專有名詞來講就是「建構」─建立起結構的意思。這個理論最開始是皮亞傑研究認知發展所提出來的。一個孩子要學會一樣事情，認識一個事情基本上要有一個結構。這個結構是重要的，因為知識不是零碎的片段，東一點西一點，必須有完整的結構才算對整件事情有通盤的了解，才能夠加以應用。這個結構，不可能透過別人灌輸給他，必須自己像蓋房子疊積木一樣，一點一滴地建立起來。

在教育上一個有名的說法是：「沒有人可以教會任何人一件事情。」用通俗的話來講就是：「你可以把馬拉到水邊，卻不能強迫他喝水。」所有這些談論都指向一件事情：「知識的建構是一個人內在的自發性活動，外在所有的教導、練習、訓練，甚至有時候給的壓力和督促，都只有協助性的功能。學習，基本上還是要一個人從內在開始建構他的知識才行。」

過去我們把小孩學數學當作是練一種技能。比如說，練習投籃，投十遍，投一百遍，投兩百遍，慢慢地就投得進去了；「投進籃」表示算式可以做得出來，可是不意味著他對數學有了完整的知識。所以他在做應用問題，或將來長大要再進一步地應用、創造的時候，就會發生極度的困難。 我覺得建構式數學在大方向上是一個應該走的道路，不但符合世界潮流的趨勢，也能夠對我們過去傳統填鴨式教學對症下藥。

為什麼會出現「建構式數學」？

 建構式數學的主導者，我比較了解的其中一位是台大數學系黃敏晃教授，現在已經退休了。當年他們花了很多很多力氣發展建構式數學的教材，以板橋教師研習會為中心，網羅各方面的人才，包括小學老師、中學老師以及各方面的專家，研發了十多年的時間。我覺得是個蠻好的構想。

為什麼會有爭議？

 爭議一方面來自於大家對事情的了解不夠。因為它是新生的事物，對大部分家長和老師而言，以前從來沒有聽過。換一種教學的模式，換一個思考的向度，人們先天就有調適上的困難，這是完全可以理解的。另一方面，建構數學在推出的過程裡，師資培育做得不是很紮實，所以不可諱言的，有少部分老師在執行這個新教法的時候有所偏差，容易引起大家的誤會和焦慮。

在執行面上，有什麼樣的偏差？

 主要原因可能是部分的教學不很妥當。很多人傳言建構式數學把簡單的事情搞難了，把小孩教笨了。舉例來講，3×7=21，從前我們小時候是背九九乘法表了事，現在建構式數學要求小孩3=3，3+3=6，3+3+3=……一直要加七次，寫七個式子。有的小孩反應「老師規定一定要這樣寫」。

後來，引起的批評聲浪越來越高，我說這是教學上的偏差，不可以以偏概全；反對建構式數學的人爭辯說：「凡事有個根源，建構式數學固然沒有叫老師這樣做，可是老師這樣做，建構式數學也難辭其咎。」這個說法很有趣，意思是說建構式數學的整個方向和模式，無形中就引導老師走到那個僵化偏差的方向去了。我深思過後，想到我們以前都有這樣的經驗：小時候寫算式時，如果少寫一道算式會被打「╳」；答案算出來後，少寫一個「答」也會被打「╳」；甚至「答」下面少畫一槓（一條線），也還是會被打「╳」。教育體系裡面僵化的風氣雖然也許不是全面，但是，是一直都存在的。

 顯然建構式數學沒有全面解決這樣的問題，但是它推動的過程裡有一個非常重要的精神，亦即希望知識是建構的，不能再用重複的練習和僵化的教條。它鼓勵學生用不同的方法解決同一個問題，鼓勵討論，老師帶領學生一起研究。這個方向無論如何都是非常正確的。在執行的過程有偏差，大家就把他歸咎於建構式數學，我覺得這非常冤枉。從前沒有建構式數學的時候也有老師如此，不能說是建構式數學害老師變得僵化。

反過來，也不能說所有老師都很僵化。因為我們知道很多小孩子在建構式數學下學習得非常快樂、非常高興，黃敏晃教授當初做這個研發的時候也做了很多實驗，據說他們的實驗班在一個小學裡，上課上到學生都不願意下課，老師們非常興奮。 

 所以，不是建構式數學的問題，而是在執行面上看碰到什麼樣的老師和環境。我非常不能同意某些人抓了一兩個例子就大作文章，說建構式數學一無是處。我當然承認一定有老師有僵化偏差的作為，但現在的問題是，這件事情的比例到底有多高？我認為談論教育性的問題不宜八卦化，不宜口水戰，隨便抓的一個東西就做文章是不負責任的做法。一個好的教育改革方向，中間一定會出現一些問題，我們一起想辦法解決這些問題，彌補這些缺失，但是不可以一竿子打翻一船人。

建構式數學跟十大能力有關係嗎？

建構式數學的基本方向，當然是要培養理解力、思考力和判斷力，以及溝通的能力（上課一定要互相討論）。我並不是一味說建構式數學好，最近仔細看了市面上有關建構式數學的教材，特別是國立編譯館編的，標榜建構式數學的那一套，雖然還是有很多改進的空間，但我覺得跟舊教材比起來已經好的多了。

 大家一定要有新舊的歷史感，我們從過去那種僵化的、非常填鴨的方式慢慢走出來，一定要給一點時間，一步一步慢慢走。教材有時候太過無趣，是因為要一直強調討論的過程或是建構的過程，有時候會讓家長覺得太繁瑣、摸不著頭緒，可是這些問題一方面有教材編撰的問題，一方面是要透過教室裡面師生的互動，實際落實的過程之後才能真正知道。

 如果我們真的要走以「能力指標」取代「知識指標」的路線的話，數學無論如何得採取建構的方式。事實上不只數學，各科的知識都應該是由老師帶領學生探索、提出問題，大家天馬行空地想像、辯論，最後把正確的東西歸結出來，讓大家覺得「原來如此」、「恍然大悟」，這樣的學習過程是多麼動人心弦。

 原文出自 http://a2z.fhl.net/paper/paper95.html   陳小小

建構式數學，最近有如過街老鼠，人人喊打。然而一旁還有很多不在情況內的人，搞不清楚何謂建構式數學。於是各種傳媒就解釋建構式數學就是，例如「三乘以五」，大多數人的理解應該是 3+3+3+3+3 ，三數了五遍，也就是計算3+3+3+3+3＝15，前者的方法被稱為是『建構式數學』，過去用九九乘法表的 3X5＝15 被稱為是過去的數學。受了六年建構式數學3+3+3+3+3此種教育的孩子，進入國中數學，考試都來不及全部答完，成績之低不忍目睹。家長為此氣急敗壞，甚至還有人說是建構式數學的主編故意把簡單數學弄得很深奧，賣教具牟暴利。

然而事實上根本沒有所謂的「建構式數學」！「建構」本身只是一種精神或可說是一種主義，重點是強調要讓「兒童自行建構數學的意義」，孩子理解後，仍應加強演算速度，教師手冊都有說明。但是教師手冊厚達二、三百頁，很多老師看不下去，沒看完，結果竟然造成這些不看、或沒看完、或沒看懂教師手冊的老師，在批改學生數學作業時，看見3+3+3+3+3＝15與3 X 5 =15兩種不同的解法，便大筆一揮將3 X 5 =15的演算打個大X，不給分。看見3+3+3+3+3＝15就打勾，給分，因為這種算式是跟課本上寫的一模一樣。於是又歷史重演，不照著老師的唯一解法就不給分，回到過去注重知識的傳授、事實的記憶、算則的反覆演練。

這剛好完全跟建構式的精神，相背而馳。因為建構式精神就是要容許、甚至去激發學生的創意，讓一個數學題目出來，呈現都可以算出解答的各種不同精彩演算法。然而老師沒有學習到建構式精神，用的仍是傳統「唯一解答」的教法教學，將傳統教學的錯誤重植於數學上，而傳媒做功課又不夠深入，隨意報導何謂建構式數學，這回建構式數學大概永難洗清冤枉。

建構式精神，是目前多元社會的現代人面對問題本該具有的精神，而非只侷限於數學。好比麥當勞的賺錢法，通常一般人想到的是他們賣漢堡賺錢，但他們最大的營利是來自店面所在位置的地皮。很多課題，在建構式精神下，會發現擁有許多的路徑可供到達，在傳統精神下，只有唯一路徑。

關心孩子教育的家長們，在批判「建構式數學」誤人子弟之餘，不妨多多深入去瞭解「建構式精神」。有了這種精神，可能對於孩子的教育問題，或比較有多元的思考面，容讓孩子走出不同的道路，而不至回到過去觀念中「努力補習、讀書、升學」是唯一成大功、立大業的方法。

原文出處  http://enews.url.com.tw/enews/47877

數想國的小小數學家
◎蕭紫菡

兩條長度一樣，懸掛物重量不同的擺錘，哪個擺盪的週期較快？

兩個數字，加起來是一百，相減是二十四，這兩個數字分別是多少？

還有，什麼是交換律？什麼是平方數？
怎麼徒手畫出一個很「正」的星形？…


這些需要費心思考的問題，如果想不通，誰說只能向大人求救？

二○○八年一月十三日，人本教育基金會數學想想國，舉辦了一場成果發表會，而呈現的方式，就是邀請過去兩年參加數想國的孩子擔任每關的關主，教來參加闖關的大人數學！

很多人疑惑小孩會講解嗎？當天，現場便有一位媽媽，在人群中擠到了其中一個三年級攤位前方，發出疑問：「嗯？這關怎麼都是小孩？沒有老師嗎？」只見眼前這幾位小關主對他點點頭，告訴她：「請把跑關卡拿出來，你知道怎麼用手比出九的乘法嗎？」大人搖搖頭，小關主立刻拿出兩隻手，現場比給大人看：「九一得九，九二十八，九三二十七…」

媽媽看見小孩每比一個，就依序把其中一隻手的尾指、無名指、中指縮起來，自然形成一種九、十八、二十七的視覺數字…旁邊的爸爸忍不住跟媽媽說：「你知不知道為什麼要縮一隻指頭？因為九是『十扣掉一』的數字概念，所以他每乘一次就要扣掉一隻…」

這些，大人從前在學校可能從來不會討論，甚至不曾想過，只是把它背起來的乘法規則，那天，思考引導的責任全交付給孩子來做！

現在念小學三年級的文元逵，在現場認真地和大人切磋：「你們看唷，二乘三和三乘二的結果是一樣的，這就叫做『交換律』。…所謂的『平方數』，就是自己乘自己，像這樣…」他在一張滿布數字的乘法表上，和大人解釋其中的規律性和邏輯，告訴大家為什麼這張表只要背一半就好。

有的大人顯露相當驚豔的神色，而有些大人即便聽了仍有些疑惑，卻會開始與關主或旁邊的大人做出熱烈的討論。

這樣的景象，是超乎許多人預期的。


總以為，畢了業，「數學」這重擔就可以好好卸下，它從來不會是一種讓人想「熱烈討論」的話題。但，那天在現場，好幾個攤位不只讓所有大人感受到：「原來我沒有想像中地懂數學背後的道理！」除此之外，也讓許多大人感受到：「原來學數學可以這麼好玩！」

像是有一攤專門在討論伽俐略的「鐘擺理論」，兩條繩子分別掛上了水管與紙筒，要大人猜猜哪個擺的週期較快？大人開始做起實驗，一下子要求兩條繩子要等長，一下又想試試替換另兩個懸掛物來擺盪會有什麼結果，直到最後試出，原來「擺的速率與重量和擺幅無關，和繩子的長短才有關」，關主告訴他：「恭禧你，你得出的結論和伽俐略是一樣的！」大人才露出欣喜的神色離去。

「大人也需要重建信心，過去，大多數人學習數學的經驗是挫折的，只知公式要背起來，不知道它怎麼來的。所以，面對孩子，大人也常不知怎麼辦，只好照舊要求孩子，無形中也把挫折複製到孩子身上！」數想國總監吳麗芬說，數想國的教學目標，就是要讓孩子從思考、討論的過程中，自然掌握知識，建立自信。

一年級學生用劇場方式擺攤，孩子躲在布幕後方，伸出手，讓觀眾猜猜他們伸出的是左手還右手，許多大人喃喃說：「我從小就一直搞不懂！」但在這一關，孩子們讓大人發現「假裝那隻手是自己的」，有利於判斷左右，這是「投射能力」的具體展現。二年級教大人「算式的情境」，例如，二十一加二十四等於四十五，如何造出一個符合這算式的故事情境呢？　

「教人很好玩，因為每個人想數學的方式不太一樣！」在數想國學習一年的文逵說，他喜歡用思考的方式學數學，「像是，在學校學乘法表，老師不會告訴你它是怎麼來的，這裡會用很多方式讓你慢慢了解，我可以用想的，還可以表達我自己！像是之前老師問我們：『你們覺得『尖尖』的才是『角』，還是『不尖』的才是『角』，我以前從來沒想過這個問題，只知道老師說這是角就是角了，所以一開始我還以為『不尖』的才是『角』。這一年，我變得會去想到以前沒想到的東西。』」他述說時那神采飛揚的臉龐真令人著迷！

大人過去享受不到的美好，在那個下午，數想國的孩子活靈活現的，與他們分享了「想想」的樂趣！確實，只要有好的教材與引導，數學可以是故事、是詩、是歌，是每個人的一部份！

◎ 原文刊載於人本教育札記225期